Метод статистических испытаний – метод Монте-Карло – Статистический эксперимент

Датой рож­дения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают амери­канских математиков Дж. Неймана и С. Улама.

Теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи стати­стики рассчитывались иногда с помощью случайных вы­борок, т.е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универ­сального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Согласно методу Монте-Карло проектировщик может моделировать работу тысячи сложных систем, управляющих тысячами разновидностей подобных процессов, и исследовать поведение всей группы, обрабатывая статистические данные. Другой способ применения этого метода заключается в том, чтобы моделировать поведение системы управления на очень большом промежутке модельного времени (несколько лет), причем астрономическое время выполнения моделирующей программы на компьютере может составить доли секунды.

Суть данного метода состоит в том, что результат испытания зависит от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).

Теоретической основой метода статистических испытаний являются предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема Бернулли, теорема Пуассона). Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний.

Метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных систем.

Как отмечалось выше, важной особенностью данного метода является то, что его реализация практически невозможна без использования компьютера.

Метод Монте-Карло имеет две особенности:

1) простая структура вычислительного алгоритма;

2) погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N, где D – неко­торая постоянная, N – число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить по­грешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т.е. объем работы) в 100 раз.

Добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат ну­жен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее доволь­но прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, опи­сываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует:

1. построить график или таблицу интегральной функции распределения на основе ряда чи­сел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значе­ния случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) – по оси ординат (у);

2. с помощью генератора случайных чисел выбрать случайное десятичное число в преде­лах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов);

3. провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей выбран­ному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей;

4. опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс;

5. записать полученное значение х. Далее оно принимается как выборочное значение;

6. повторить шаги 2-5 для всех требуемых случайных переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны.